2010年2月3日 星期三

12枚金幣有一不知或輕或重偽幣之解


[兩個50元硬幣,一真一偽,你會分辨嗎?圖取自http://www.libertytimes.com.tw/2009/new/oct/19/today-center2.htm]

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12枚金幣有一不知或輕或重偽幣之解



部落格上政論文寫多了,除了政治、經濟、歷史、推背圖外,筆者對科學的東西也是興趣濃厚,像是算算詐胡線出包相關機率,有時也想把生活中的點滴分享給網友。話說在1月30日當天,有人熊熊問筆者一個問題:『有十二枚金幣, 其中一枚是偽幣, 重量與真幣不同, 但不知偽幣比較重或比較輕, 現有天平一座, 可以使用三次找出偽幣是哪一枚? 並比真幣輕或重嗎? 』,筆者想了好一陣子解出了。本來這個問題,網路是有詳解的,如果想偷懶用Google一下,應該是可以得到答案的。不過自己去想,得到答案的,那種喜悅,還是比較有意思的。


筆者把這個問題分別PO在Plurk、Facebook上,有網友野芭樂x堅持xsspiggy
ㄧ中同學sHubert Yu po出解,在此必須對此3位網友表示敬意,文中並列出解答,以示Honor之意!


其實筆者解答這個問題的過程,是企圖找出更為一般的情況,看能不能把一般的情況reduce到幾種簡易的case,甚至發展出個Algorithm。像是「12枚金幣有一不知或輕或重偽幣」的問題就可能衍生「n枚金幣有一不知或輕或重偽幣」、「n枚金幣有一已知或輕或重偽幣」以及「n枚金幣有一或輕或重偽幣,再加上若干可用的已知真幣」等等。主要的工具是天平,量一次可能有三種結果:『重於、輕於、等於』,在不知偽幣輕重下,應該是要用「三分法」,如果已知偽幣是較輕或較重,當然可用「二分法」,筆者把原始問題

「12枚金幣有一不知或輕或重偽幣」以符號 P(12, 偽幣輕重不知) 表之。

當金幣數多時,每測量一次,就會得到一堆等式或不等式,再想辦法解出。然而其中幾個簡易case應該馬上可解:

P(3,偽幣輕重不知) 僅需量2次
解:令三金幣重量分為X,Y,Z。量X, Y:
1. 如果X=Y則Z為偽幣。
2. 如果X重於Y,量X, Z
2.1. 如果X重於Z,X是偽幣。
2.2. 如果X=Z,Y是偽幣。


P(4,偽幣輕重不知) 僅需量2次
解:令4金幣重量分為X1,X2,A,B。量 X1, X2:
1. 如果 X1=X2 則偽幣為A或B
1.1. 量X1, A IF X1=A THEN 偽幣=B
1.2. ELSE 偽幣= A
2. 如果 X1重於X2 量X1, A
2.1. IF X1=A THEN 偽幣=X2
2.2. ELSE 偽幣=A
3. 如果 X1輕於X2 類似case 2.



筆者所提供詳解:

1.把12金幣分成3堆A,B, C,重量分別為A1,A2,A3,A4,
  B1,B2,B3,B4, C1,C2,C3,C4。

2.量A, B
3.IF 重量(A)=重量(B) THEN
4. 偽幣在C中,較輕較重未知
5. P(4,偽幣輕重不知)
6. 得解
7.ELSE IF A重於 B (較重堆為A ,較輕堆為B) THEN
8. 偽幣 在A,B中,C中全為真幣,每顆重量均為x
9. 量 A1+A2+B1+B2, A3+B3+C1+C2
10. IF A1+A2+B1+B2=A3+B3+C1+C2 THEN
11. A3=B1=B2=B3=A1=A2=x為真幣, 偽幣為A4或B4
12 量A4, C1
13 IF A4=C1 THEN 偽幣=B4 ELSE 偽幣=A4
14. ELSE IF A1+A2+B1+B2重於A3+B3+C1+C2 THEN
15. A3=A4=B1=B2=B4=x為真幣,偽幣於A1,A2,B3中
16. 量A1, A2
17. CASE A1=A2: 偽幣=B3
18. CASE A1重於A2: 偽幣=A1
19. CASE A1輕於A2: 偽幣=A2
20. ELSE 即 A1+A2+B1+B2輕於A3+B3+C1+C2
21. A1=A2=B3=A4=B4=x為真幣,偽幣於A3,B1,B2中
22. 量B1, B2
23. CASE B1=B2: 偽幣=A3
24. CASE B1重於B2: 偽幣=B2
25. CASE B1輕於B2: 偽幣=B1
延展閱讀



Honor一下提供答案的網友!

Spieler fragt[再噗]有個數學問題,本人將在週一公佈答案於本人部落格,謝謝!有十二枚金幣, 其中一枚是偽幣, 重量與真幣不同, 但不知偽幣比較重或比較輕, 現有天平一座, 可以使用三次找出偽幣是哪一枚? 並比真幣輕或重嗎? (thinking)

Jan 30, 2010 - 02:01PM
20 responses to this plurk. (reply to this plurk)
  • Jan 30, 2010 - 14:01
    轉噗機 按我轉噗分享
  • Jan 30, 2010 - 14:01
    小籤籤 2010-01-30的天秤座:綜合運勢:★★★★愛情運勢:★★★★工作狀況:★★★★理財投資:★★★ 健康指數:82%商談指數:85%幸運色:橘色幸運數:3 速配星座:天蠍座
  • Jan 30, 2010 - 14:01
    小籤籤 外出玩樂不如將時間用在提昇自我方面會更充實。學習性強,讀書、學習技藝都能很快上手。今天可稍微延長沐浴 時間,多讓身體接觸水分,身心都感覺更清爽。待在家裡的
  • Jan 30, 2010 - 14:01
    小籤籤 時間不妨整理周遭環境中不需要的物品,淘汰一些舊衣、舊鞋、枯萎的盆栽等等,都有讓心情渙然一新的效果喔。
  • Jan 30, 2010 - 14:01
    冰友美眉1 晚安 正妹分機請播 點這看足跡找同好 等你很久了
  • Jan 30, 2010 - 14:03
    覺醒的台灣人~薇媽 sagt
  • Jan 30, 2010 - 14:03
    donnayuying sagt 太難了。 (thinking)
  • Jan 30, 2010 - 14:50
    站長|Snosrap sagt 6 3 1
  • Jan 30, 2010 - 14:53
    Spieler sagt Snosrap: 不解!
  • Jan 30, 2010 - 16:54
    僵屍蛇amin 分3堆(4.4.4),偽幣在重量不同的那堆,這時候就知道偽幣是比較輕還是重;再把重量不同的4個裡拿 3個來秤兩次就行了
  • Jan 30, 2010 - 16:55
    僵屍蛇amin 我的解是秤4次,不曉得對不對
  • Jan 30, 2010 - 17:56
    野芭樂x堅持xsspiggy sagt 分4,4,4沒錯,不過要假設一下各種狀況:如果第一、二堆等重(#1),則偽幣在第三堆。任取第三堆中的 兩個秤(#2),若等重則留下一個並由剩下的兩個中再任取一個秤(#3),如果又等重,則沒秤到那顆是偽幣;若(#3)不等重,則最後挑到這顆是偽幣。
  • Jan 30, 2010 - 18:14
    野芭樂x堅持xsspiggy sagt 前述狀況:若第一二堆不等重(#1),則第三堆均為真幣免秤。從不等重的兩堆中各取走一顆,再將各堆剩下的 任兩顆交換到另一盤(#2),若天枰平衡,表示皆為真幣,則留下一顆,並將(#2)中取走的任一顆和留下的真幣比(#3)。(結果同上一狀況之#3)
  • Jan 30, 2010 - 18:25
    野芭樂x堅持xsspiggy sagt 承上(#2),交換秤後若不平衡且重盤依然較重,輕盤依然較輕,則交換之四顆皆為真幣且偽幣較輕,將未交換 之兩科任取一顆與真幣秤(#3),即可找出較輕之偽幣 (說明略)
  • Jan 30, 2010 - 18:28
    野芭樂x堅持xsspiggy sagt 承上(#2),交換秤後若不平衡且輕重盤互換,則偽幣必在重的那堆中且較真幣重,任取重堆中之任兩顆置於天 枰(#3),若等重則偽幣為未取的那顆,若不平衡,重的那顆是偽幣。
  • Jan 30, 2010 - 18:40
    野芭樂x堅持xsspiggy sagt 補充上上上上樓:(#2)若不等重,則其中一個為偽幣,任留一顆與真幣秤(#3),即可找出偽幣 (goodluck)
  • Jan 31, 2010 - 13:04
    僵屍蛇amin sspiggy: 詳解有詳細喔(applause)
  • Jan 31, 2010 - 13:06
    僵屍蛇amin 所以可以3次找出偽幣(dance)
  • Feb 01, 2010 - 06:14
    donnayuying sagt (woot)
http://www.plurk.com/p/3lurhb
  • Feb 02, 2010 - 04:36
    ㄧ中同學s sagt 這有點複雜 分三堆 分別是A1A2A3A4 B1B2B3B4 C1C2C3C4 拿A堆跟B堆秤第ㄧ次,情況有 平衡 不平衡 先說平衡的情況(這狀況比較簡單),若平衡,則AB共8個全部都是真的,假的在C堆 抓C1C2來秤第二次,平衡則假的在C3跟C4
  • Feb 02, 2010 - 04:37
    ㄧ中同學s sagt 此時,任意拿ㄧ個真的 (A1A2A3A4~C2) A1跟C3比較 平衡 則假的是C4 尚未完工的部份有第ㄧ次的不平衡 跟第二次的不平衡,還有七種狀況,讓給大家接龍

Facebook上解答!

Hubert Yu
情況一:步驟1同重
硬幣分成三堆,標明為a, b, c,真的設定為x, 假的設定為y,可解答下列情況。

步 驟1,比較a堆4x與b堆4x,因為同重,表示c堆為假。
步 驟2,比較a堆2x與c堆2x,因為同重,表示c堆x+y為 假。⋯⋯ 繼續閱讀
步 驟3,比較a堆x與c堆x,因為同重,表示c堆y為假

步 驟2,比較a堆2x與c堆x+y,因為不同重,表示x+y為 假。
步驟3,比較a堆x與c堆y,因為不同重,表示y為假。

這是步驟1同重時的方式,運用到二分法和交換法。但步驟1若不同重時,則運用此法至少需4步驟,多出確認假幣的輕重。

情況二:步驟1不同重
硬幣分成三堆,標明為a, b, c,硬幣標為1-12,假幣為12。(以下是假幣輕)

步驟1,比較a堆1-4與c堆9-12,若a重,表示一組為假,b堆(5-8)為真。
步驟2,比較1-3+9(+9到+11結果 同)與5-7+4,因為同重,表示10-12為假。
步 驟3,比較10與11,若同重,表示12為假,假幣輕

步 驟2,比較1-3+12與5-7+4,前者輕,表示4或12 為假。
步驟3,比較5與4,因為同重,則12為假,假幣輕。

若是假幣重,則方法也如情況二。
昨天 9:55
Hubert Yu
Hubert Yu
有獎賞嗎 XD
我現在只想找出時間好好經營修伯特‧魚看世界啦!
昨天 9:57 ·


[感謝一中同學s大大提供此免費遊戲的連結]






請複製上方的貼紙語法,貼到您的部落格來串連『我要看電影"Formosa Betrayed"』個活動!






4 則留言:

joe 提到...

我提供另一種解法,可能更容易:

一、將硬幣等分二批,拿其中一批再等分上天平,即二側各有三個,如此便可從有無維持水平,得知假幣是在上天平中的那一批,或是沒上天平中那一批。

二、拿三個真幣上天平一側,再將含有假幣的那一組(6個)等分,一批上天平,另一批不上天平;如此便可知二件事:(1)假幣是較真幣輕或重、(2)假幣是在上天平中的那一批,或是沒上天平中的那一批。

三、含有假幣的那一批剩3個,二個各上天平二端,一個不上;若維持水平,即沒上天平者是假的,若沒維持水平,因已知假幣是較重或較輕,也可一眼視破。

Spieler 提到...

繼續於此噗討論!

匿名 提到...

if step 1 and step 2 result are both equal, but step 3 are unequal, then we cannot concluded since no information to shown the fake coin is heavier or lighter.

匿名 提到...

I check in details but see each method has bug. The solution needs to know the fake coin is heavier or lighter. But I see all above methods can figure out if it is heavier or lighter for some case.

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