[兩個50元硬幣，一真一偽，你會分辨嗎？圖取自http://www.libertytimes.com.tw/2009/new/oct/19/today-center2.htm]
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12枚金幣有一不知或輕或重偽幣之解
部落格上政論文寫多了，除了政治、經濟、歷史、推背圖外，筆者對科學的東西也是興趣濃厚，像是算算詐胡線出包相關機率，有時也想把生活中的點滴分享給網友。話說在1月30日當天，有人熊熊問筆者一個問題：『有十二枚金幣, 其中一枚是偽幣, 重量與真幣不同, 但不知偽幣比較重或比較輕, 現有天平一座, 可以使用三次找出偽幣是哪一枚? 並比真幣輕或重嗎? 』，筆者想了好一陣子解出了。本來這個問題，網路是有詳解的，如果想偷懶用Google一下，應該是可以得到答案的。不過自己去想，得到答案的，那種喜悅，還是比較有意思的。
筆者把這個問題分別PO在Plurk、Facebook上，有網友野芭樂x堅持xsspiggy、ㄧ中同學s和Hubert Yu po出解，在此必須對此3位網友表示敬意，文中並列出解答，以示Honor之意！
其實筆者解答這個問題的過程，是企圖找出更為一般的情況，看能不能把一般的情況reduce到幾種簡易的case，甚至發展出個Algorithm。像是「12枚金幣有一不知或輕或重偽幣」的問題就可能衍生「n枚金幣有一不知或輕或重偽幣」、「n枚金幣有一已知或輕或重偽幣」以及「n枚金幣有一或輕或重偽幣，再加上若干可用的已知真幣」等等。主要的工具是天平，量一次可能有三種結果：『重於、輕於、等於』，在不知偽幣輕重下，應該是要用「三分法」，如果已知偽幣是較輕或較重，當然可用「二分法」，筆者把原始問題
「12枚金幣有一不知或輕或重偽幣」以符號 P(12, 偽幣輕重不知) 表之。
當金幣數多時，每測量一次，就會得到一堆等式或不等式，再想辦法解出。然而其中幾個簡易case應該馬上可解：
P(3,偽幣輕重不知) 僅需量2次
解：令三金幣重量分為X,Y,Z。量X, Y:
1. 如果X=Y則Z為偽幣。
2. 如果X重於Y，量X, Z
2.1. 如果X重於Z，X是偽幣。
2.2. 如果X=Z，Y是偽幣。
P(4,偽幣輕重不知) 僅需量2次
解：令4金幣重量分為X1,X2,A,B。量 X1, X2:
1. 如果 X1=X2 則偽幣為A或B
1.1. 量X1, A IF X1=A THEN 偽幣=B
1.2. ELSE 偽幣= A
2. 如果 X1重於X2 量X1, A
2.1. IF X1=A THEN 偽幣=X2
2.2. ELSE 偽幣=A
3. 如果 X1輕於X2 類似case 2.
筆者所提供詳解：
延展閱讀
1.把12金幣分成3堆A,B, C，重量分別為A1,A2,A3,A4,
B1,B2,B3,B4, C1,C2,C3,C4。
2.量A, B
3.IF 重量(A)=重量(B) THEN
4. 偽幣在C中，較輕較重未知
5. P(4,偽幣輕重不知)
6. 得解
7.ELSE IF A重於 B (較重堆為A ，較輕堆為B) THEN
8. 偽幣 在A,B中，C中全為真幣，每顆重量均為x
9. 量 A1+A2+B1+B2, A3+B3+C1+C2
10. IF A1+A2+B1+B2=A3+B3+C1+C2 THEN
11. A3=B1=B2=B3=A1=A2=x為真幣, 偽幣為A4或B4
12 量A4, C1
13 IF A4=C1 THEN 偽幣=B4 ELSE 偽幣=A4
14. ELSE IF A1+A2+B1+B2重於A3+B3+C1+C2 THEN
15. A3=A4=B1=B2=B4=x為真幣，偽幣於A1,A2,B3中
16. 量A1, A2
17. CASE A1=A2: 偽幣=B3
18. CASE A1重於A2: 偽幣=A1
19. CASE A1輕於A2: 偽幣=A2
20. ELSE 即 A1+A2+B1+B2輕於A3+B3+C1+C2
21. A1=A2=B3=A4=B4=x為真幣，偽幣於A3,B1,B2中
22. 量B1, B2
23. CASE B1=B2: 偽幣=A3
24. CASE B1重於B2: 偽幣=B2
25. CASE B1輕於B2: 偽幣=B1
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Honor一下提供答案的網友！
Spieler fragt[再噗]有個數學問題，本人將在週一公佈答案於本人部落格，謝謝！有十二枚金幣, 其中一枚是偽幣, 重量與真幣不同, 但不知偽幣比較重或比較輕, 現有天平一座, 可以使用三次找出偽幣是哪一枚? 並比真幣輕或重嗎?
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Jan 30, 2010 - 14:03覺醒的台灣人~薇媽 sagt 
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Jan 30, 2010 - 14:03donnayuying sagt 太難了。 -
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- Jan 30, 2010 - 18:40
野芭樂x堅持xsspiggy sagt 補充上上上上樓：(#2)若不等重，則其中一個為偽幣，任留一顆與真幣秤(#3)，即可找出偽幣 
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- Jan 31, 2010 - 13:06
僵屍蛇amin 所以可以3次找出偽幣 
- Feb 01, 2010 - 06:14
donnayuying sagt 
Facebook上解答！
硬幣分成三堆，標明為a, b, c，真的設定為x, 假的設定為y，可解答下列情況。
步 驟1，比較a堆4x與b堆4x，因為同重，表示c堆為
步 驟2，比較a堆2x與c堆2x，因為同重，表示c堆x
步 驟3，比較a堆x與c堆x，因為同重，表示c堆y為假
步 驟2，比較a堆2x與c堆x+y，因為不同重，表示x
步驟3，比較a堆x與c堆y，因為不同重，表示y為假。
這是步驟1同重時的方式，運用到二分法和交換法。但步驟
情況二：步驟1不同重
硬幣分成三堆，標明為a, b, c，硬幣標為1-12，假幣為12。（以下是假幣輕）
步驟1，比較a堆1-4與c堆9-12，若a重，表示一
步驟2，比較1-3+9（+9到+11結果 同）與5-7
步 驟3，比較10與11，若同重，表示12為假，假幣輕
步 驟2，比較1-3+12與5-7+4，前者輕，表示4
步驟3，比較5與4，因為同重，則12為假，假幣輕。
若是假幣重，則方法也如情況二。
我現在只想找出時間好好經營修伯特‧魚看世界啦！
[感謝一中同學s大大提供此免費遊戲的連結]
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4 則留言:
我提供另一種解法，可能更容易：
一、將硬幣等分二批，拿其中一批再等分上天平，即二側各有三個，如此便可從有無維持水平，得知假幣是在上天平中的那一批，或是沒上天平中那一批。
二、拿三個真幣上天平一側，再將含有假幣的那一組(6個)等分，一批上天平，另一批不上天平；如此便可知二件事：(1)假幣是較真幣輕或重、(2)假幣是在上天平中的那一批，或是沒上天平中的那一批。
三、含有假幣的那一批剩3個，二個各上天平二端，一個不上；若維持水平，即沒上天平者是假的，若沒維持水平，因已知假幣是較重或較輕，也可一眼視破。
繼續於此噗討論!
if step 1 and step 2 result are both equal, but step 3 are unequal, then we cannot concluded since no information to shown the fake coin is heavier or lighter.
I check in details but see each method has bug. The solution needs to know the fake coin is heavier or lighter. But I see all above methods can figure out if it is heavier or lighter for some case.
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